一、关于浸入的问题,请看下图

1。

ⅰ。 f'(t)=(-sint,cost，-αsin（αt），αcos（αt））≠（0,0,0,0） ==>f是regular的。

ⅱ。 f(t)=f(s)==> t-s=2kπ=2iπ/α，若k≠0，则和α无理数矛盾， 所以t=s,f是单射。

==》f为浸入。 2。

任意（cost,sint,cos（αs）,sin（αs））∈S^1*S^1 (2/α)Z+2Z是R的加法子群， 由于R的加法子群只可能是aZ和在R稠密两种， 而（2/α）Z+2Z不是aZ，所以（2/α）Z+2Z在R稠密。 ==》 有c(n),d(n)∈Z，使 Lim{n→∞}[2c(n)/α+2d(n)]π=t-s ==> Lim{n→∞}（cos(s+2c(n)π/α），sin(s+2c(n)π/α））= =（cost,sint） 而（cos[(s+2c(n)π/α）α]，sin[(s+2c(n)π/α）α]）= =cos（αs）,sin（αs）），所以命题得证。

。

二、物体A浸入水中,有25体积露出,浸入某液体中,有一半体积露出,如

(1)设木块的体积为VA，∵木块漂浮，∴F浮=G=mg，即ρ水gV排=ρ水g*35VA=ρAgVA，解得：ρA=35ρ水=35*1.0*103kg/m3=0.6*103kg/m3.(2)∵物体A浸入水中，有25体积露出，浸入某液体中，有一半体积露出，∴ρ水g*35VA=ρ液g12VA，解得ρ液=1.2*103kg/m3.(3)由图可知，当在A上放体积是A的14的重物B时，A露出液面110，物体还是处于漂浮状态，则GA+GB=ρ液g910VA，则（ρAVA+ρB*14VA）g=ρ液g910VA，将ρA=0.6*103kg/m3和ρ液=1.2*103kg/m3代入上式，解得ρB=0.48*103kg/m3.答：（1）物块A的密度为0.6*103kg/m3.(2)液体密度为1.2*103kg/m3.(3)重物B的密度为=0.48*103kg/m3.。