正交单位列向量组(P1,P2,...,Pn)组成矩阵P

则有P^TP=E

实际上P^TP的每个元素就是P的列向量Pi，与P的列向量Pj的内积

显然i=j时，Pi⋅Pj=Pi⋅Pi=1（因为Pi是单位向量）

i≠j时，Pi⋅Pj=0（因为正交）

因此P^T·P中，只有主对角线元素都是1，其余都是0，从而是单位矩阵

从而P是正交矩阵

扩展资料：

正交矩阵不一定是实矩阵。

实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；A的列向量组也是正交单位向量组。

正交性要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=−q,u=p要么t=q,u=−p。

我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ=0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。

参考资料来源：百度百科--正交矩阵