1. 如何判断一个矩阵是否可对角化

如果所有特征根都不相等，绝对可以对角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是，那么就不能了。

矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

扩展资料：

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示。

用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式）。

这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加 。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解 。

参考资料来源：搜狗百科-矩阵

2. 怎么将一个矩阵化为单位矩阵

任何矩阵不一定都可以化为单位矩阵。

如果可以化，首先用初等变换，化为行阶梯形，再化为标准型。

过程如下：

1、使用初等变换，首先将第一行的第一个元素化为1。

2、下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的倍数，从而把第一列除第一行外的全部元素都化为0，进而把第二列除前两个元素之外，都化为0。

3、最后把矩阵化为上三角矩阵；类似地，从最后一行开始，逐行把上三角矩阵化为单位矩阵。

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

扩展资料：

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。

如果不知A是否可逆，也可用这种方法做，只要nX2n矩阵经行初等变换左边的nxn那一块中有一行（列）的元素全为0，则A不能经过初等变换化为单位矩阵，即A不可逆。

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。另外：分块矩阵也可以定义初等变换。

参考资料来源：百度百科——单位矩阵

3. 怎么判断一个矩阵能否对角化

1.所有特征根都不相等，那么不用说，绝对可以对角化

2.有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是，那么就不能了。

综合起来是说的：有n个线性无关的特征向量！！

matlab求重特征值d和对应的特征向量v

>> [v,d]=eig(A)

v =

0 0.5774 -0.8944

0 -0.5774 0.4472

1.0000 -0.5774 0

d =

1 0 0

0 -2 0

0 0 1

所以可以对角化

4. 如何对一个分块矩阵对角化

首先，你描述的矩阵可以表示为：A1 0 0 0 。

0 0 A2 0 0 。 0。

0 0 0 0 。 An其中Ai是实对称阵矩阵。

e69da5e887aa7a6431333239306563由于是对称阵必可对角化。因此：A1=P1*B1*P1^(-1) A2=P2*B2*P2^(-1) 。

An=Pn*Bn*Pn^(-1)其中Bi为对角阵，Pi为可逆阵。 于是原矩阵就变成：P1*B1*P1^(-1) 0 0 。

00 P2*B2*P2^(-1) 0 。 0。

0 0 0 。 Pn*Bn*Pn^(-1) 这个矩阵可以改写为3个分块矩阵相乘的形式：P1 0 0 。

00 P2 0 。 0。

0 0 0 。 Pn*B1 0 0 。

0 0 B2 0 。 0。

0 0 0 。 Bn*P1^(-1) 0 0 。

00 P2^(-1) 0 。 0。

0 0 0 。 Pn所以，分块对角化的过程就是：1。

各自对角化。2。

将得到的对角阵和可逆阵按上面的形式组合，就可以做到分块对角化。总结起来：原矩阵=diag(P1,P2,。

,Pn)*diag(B1,B2,。,Bn)*diag(P1^(-1),P2^(-1),。

,Pn^(-1))。