1.怎么利用十字相乘法来分解因式

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)，在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.基本式子：x^2+(p+q)χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式（x+a）(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. . 上式的常数12可以分解为3*4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 又如：分解因式：a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2，所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 十字相乘法讲 x^2-3x+2=如下： x -1 ╳ x -2 左边x乘x= x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+(-2)乘x（对角）=-3x 上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】 就等于（x-1）*(x-2) x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)编辑本段通俗方法方法 先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写 1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b . 依此类推 直到（ad+cb=一次项系数）为止.最终的结果格式为（ax+b）(cx+d)例 ：（^2代表平方） a^2x^2+ax-42 首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a *+?）*(a *+？) 然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式*两项式. 再看最后一项是-42 ,-42是-6*7 或者6*-7也可以分解成 -21*2 或者21*-2 首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者. 然后，在确定是-7*6还是7*-6. (a*+(-7))*(a*+6)=a^2-a-42（计算过程省略） 得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a 再算： （a*+7）*(a*+(-6))=a^2+a-42 正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）*(ax-6)，这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！ 2=1*2=2*1； 分解常数项： 3=1*3=3*1=(-3)*(-1)=(-1)*(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1*3+2*1=5 ≠-7 1 3 ╳ 2 1 1*1+2*3=7 ≠-7 1 -1 ╳ 2 -3 1*(-3)+2*(-1)=-5 ≠-7 1 -3 ╳ 2 -1 1*(-1)+2*(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1) 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1,a2,c1,c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2*(-5)+3*1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1*5+1*(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1*(-4)+5*2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.例4 把（x-y）(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看。

2.什么是十字相乘法,怎么用

十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1）、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1*12,-2*6,-3*4,-4*3,-6*2,-12*1当-12分成-2*6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m²+4m-12=(m-2)(m+6) 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1*5,-8可分为-1*8,-2*4,-4*2,-8*1。

当二次项系数分为1*5，常数项分为-4*2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4) 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1*15,3*5。 解： 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）(x-5)=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1*6,2*3,-25可以分成-1*25,-5*5,-25*1。

解： 因为 2 -5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）(3x+5)=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2）、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式，则14可分为1*14,2*7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解： 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x²-67xy+18y²= （2x-9y）(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x -(28y²-25y+3) 4y -3 7y ╳ -1 =10x²-（27y+1）x -(4y-3)(7y -1) =[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1) 5 ╳ 4y - 3 =(2x -7y +1)(5x +4y -3) 说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）(7y -1)，再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y =[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y =(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3 说明：在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）(5x +4y)，再把（2x -7y）(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [(5x -4y)-3]. 例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0 x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0 x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b 2 ╳ +b [x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b) 1 ╳ -（a-b） 所以 x1=2a+b x2=a-b 两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式 交点式. 利用配方法，把二次函数的一般式变形为 Y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2] 应用平方差公式对右端进行因式分解，得 Y=a[x+b/2a+√b^2-4ac/2a][x+b/2a-√b^2-4ac/2a] =a[x-(-b-√b^2-4ac)/2a][x-(-b+√b^2-4ac)/2a] 因一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1,2=(-b±√b^2-4ac)/2a 所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是方程ax^2+bx+c=0的两个根 因x1,x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1,0）,(x2,0)的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式. 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便. 二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得： 设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x1,x2 根据根与系数的关系x1+x2=-b/a,x1x2=c/a， 有b/a=-(x1+x2),a/c=x1x2 ∴y=ax^2+bx+c=a[x^2+b/a*x+c/a] =a[x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 参考资料：/z/q743373552.htm?si=1。

3.因式分解

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做吧这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法的关系：可逆的变形（有些多项式可以因式分解，有些多项式不可以因式分解）步骤：1.能提公因式的要提公因式2.不能提公因式的就看它是否可用公式法3.分解因式必须分解到不能再分解为止提公因式法：1.系数找最大公约数2.字母找相同字母，指数为最低次幂十字相乘法，能把某些二次三项式分解因式.要务必注意各项系数的符号.十字相乘法使用时的注意：1.用来解决两者之间的比例问题.2.得出的比例关系是基数的比例关系.通俗方法：先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）。

4.十字相乘法怎么用

十字相乘法概念 [编辑本段] 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题 [编辑本段] 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1*2=2*1； 分解常数项： 3=1*3=1*3==(-3)*(-1)=(-1)*(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1*3+2*1 =5 1 3 ╳ 2 1 1*1+2*3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1*(-3)+2*(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1*(-1)+2*(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1,a2,c1,c2，排列如下： a1 c1 ？ ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2*(-5)+3*1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1*5+1*(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ？╳ 5 -4 1*(-4)+5*2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x,y的一次式. 例4 把（x-y）(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是哗单糕竿蕹放革虱宫僵两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 （x-y）(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 1 -2 ╳ 2 1 1*1+2*(-2)=-3 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析：常数项（-15）7 不成立 继续试 第二次 1 2 ╳ 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为：（x+2）(2x+3)。