一、 基本知识
二、拓展知识
例1 如图 ，有一个棱长 4cm 的正方体，从它的右上方截去一个长、宽、高分别为 4cm 、2cm 、1cm 的长方体，求剩下部分的表面积。
解：将剩下多面体的两个面平移，
则 多面体比原正方体前、后各少了两个面，
∴ 剩下部分的表面积是：
（4×4）×6 –（1×2）×2
= 96 – 4
= 92（cm2）
答：剩下部分的表面积是 92cm2。
【思考1 】 大正方体的边长是 4cm ，在此正方体的上面的正中间向下挖一个边长为 2cm 的正方形小洞。那么得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
提示：立体图表面积 = 原正方表面积 + 挖后增加面积 （答案：112 cm2 ）
例2 长方体的右面和上面面积之和是 209cm2 ，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积为多少立方厘米？
【思考2 】 如图 ，一个正方体被切成 24 个长方体，这些小长方体的表面积总和为 162cm2 ，求这个正方体的体积
提示：分成 24 个小长方体，正方体共切了 6 刀，每切 1 刀增加 2 个正方体的面。
则 切 6 刀后，正方体的面共增加了：（2×6）个
即 每面面积×6 + 每面面积×（2×6）= 162
可求出正方体：每面面积、棱长，从而求出这个正方体的体积。（答案：27 cm3 ）
例3 一个长方体木块，从上部截去高为 6cm 的长方体后，得到一个正方体，这个正方体的表面积比原来长方体减少了120cm2 ，原来长方体的体积是多少立方厘米？
解：∵ 截去小长方体后，得到一个正方体，
∴ 原长方体的上、下底必是正方形，减少的 120cm2 必是小长方体的侧面积。
原底面周长： 减少的侧面积÷截去的高 = 120÷6 = 20（cm）
原底面边长： 底周长÷4 = 20÷4 = 5（cm）
原长方体高： 6 + 5 = 11（cm）
∴ V = 5×5×11 = 275（cm3）
答：原来长方体的体积是 275cm3 。
【思考3 】 一个长方体大木块，从下部和上部分别截去高为 3cm 和 2cm 的长方体后，使之成为一个正方体，表面积减少 120cm2 ，原来长方体的体积是多少立方厘米？
提示：截去两个小长方体后，得到一个正方体，原长方体的上、下底必是正方形，减少的 120cm2 必是两个小长方体的侧面积。
原底面周长 = 减少的侧面积÷截去两个高的和
原底面边长 = 底周长÷4
原长方体高 = 3 + 原底面边长 + 2
然后求出原长方体的体积。 （答案：396 cm3 ）
例4 一个棱长为 11 厘米的正方体，在它相邻的三个面中心处各凿一个长、宽各 3 厘米的洞，所凿的洞均穿透这个正方体，现在这个物体的表面积和体积各是多少？
解：外表面积：
11×11×6 – 3×3×3 =（121 – 9）×6
= 112×6
= 672（cm2）
内表面积：
{ [ 3×（11 – 3）]×4 }×3 = 3×8×4×3
= 32×9
= 288（cm2）
∴ 表面积是：
672 + 288 = 960（cm2）
原来体积：
11×11×11 = 1331（cm3）
凿去体积：
[ 3×3×（11 – 3）÷2 ]×6 + 3×3×3
= 36×6 + 27
= 216 + 27
= 243（cm3）
∴ 现体积是：
1331 – 243 = 1088（cm3）
答；现在这个物体的表面积和体积各是960平方厘米和1088立方厘米。
【思考4 】 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，求这个立体图形的表面积。
S立表 =（2×2×6）×8 +（1×1×6）×12–[（1×1×2）×2 ] ×12
= 192 + 72 – 48
= 216（cm2）
答：这个立体图形的表面积是 216cm2 。
例5 如图是由 120 块小立方体构成的 4×5×6 的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中的一面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少块？
解: 一面涂红看面里，有：
（4 – 2）×（5 – 2）×2 +（5 – 2）×（6 – 2）
×2 +（4 – 2）×（6 – 2）×2
= 12 + 24 + 16
= 52（块）
二面涂红看棱中，有：
（4 – 2）×4 +（5 – 2）×4 +（6 – 2）×4
= 8 + 12 + 16
= 36（块）
三面涂红看顶点，有：8 块。
答：一面、二面、三面涂红的小立方体各有 52 、36 、8 块。
【思考5 】 一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体，如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于 13 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于多少？
两面带红共有：
4 [（a – 2）+（b – 2）+（c – 2）]
= 4×[ 13 + 1 + 1 ] = 4×15 = 60（个）
答：两面带红色的小正方体的个数等于 60 。
陈悦远
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