1.早期函数概念，几何观念下的函数，十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系，1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿，莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的；

2.十八世纪函数概念代数观念下的函数，1718年约翰贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义，由任一变量和常数的任一形式所构成的量，他的意思是凡变量和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示，1755年欧拉把函数定义为如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，把前面的变量称为后面变量的函数。